Kontinuerlig funktion

En kontinuerlig funktion er en funktionuden "spring", det vil sige betingelsen er opfyldt: små ændringer i argumentet følges af små ændringer i de tilsvarende værdier af funktionen. Grafen af ​​en sådan funktion er en glat eller kontinuerlig kurve.

Kontinuitet på det punkt, grænsen for noglesæt kan defineres ved hjælp af begrebet en grænse, nemlig: en funktion skal have en grænse på dette tidspunkt, hvilket er lig med dets værdi ved grænsen.

Hvis disse betingelser brydes på et tidspunkt,sig at en funktion på et givet punkt lider en diskontinuitet, det vil sige kontinuiteten er overtrådt. I grænseoverskridelsen kan punktet diskontinuitet beskrives som en mismatch af værdien af ​​en funktion på et diskontinuerligt punkt med grænsen for en funktion (hvis den eksisterer).

Pointen for diskontinuitet kan elimineres til detteDet er nødvendigt at have grænsen for en funktion, men den falder ikke sammen med dens værdi på et givet punkt. I dette tilfælde kan det "korrigeres" på dette tidspunkt, det vil sige det kan udvides til kontinuitet.
Et helt andet billede dannes, hvis grænsen for funktionen på et givet punkt ikke eksisterer. Der er to mulige varianter af brudpunkter:

• af den første slags - begge de ensidige grænser eksisterer og er begrænsede, og værdien af ​​en af ​​dem eller begge falder ikke sammen med værdien af ​​funktionen på et givet punkt;
• af den anden slags, når en eller begge de ensidige grænser ikke eksisterer eller deres værdier er uendelige.

Egenskaber ved kontinuerlige funktioner

• Funktionen opnået i resultatet af aritmetiske operationer såvel som overlejring af kontinuerlige funktioner på deres definitionsdomæne er også kontinuerlig.
• Hvis der gives en kontinuerlig funktion, der er positiv på et tidspunkt, kan man altid finde et tilstrækkeligt lille kvarter, som det bevarer sit tegn på.
• Tilsvarende, hvis dens værdier ved to punkter A og Ber henholdsvis a og b, og a er forskellig fra b, og for mellemliggende punkter tager det alle værdier fra intervallet (a; b). Herfra kan vi tegne en interessant konklusion: Hvis vi giver et strakt gummibånd til at krympe, så det ikke sager (forblev lige), vil et af dets punkter forblive løst. Og geometrisk betyder det, at der er en lige linje, der passerer gennem et mellemliggende punkt mellem A og B, der skærer funktionsgrafen.

Vi noterer nogle af de kontinuerlige (på domænet af deres definition) elementære funktioner:

• konstant;
• rationel;
• trigonometri.

Mellem to grundlæggende begreber imatematik - kontinuitet og differentierbarhed - der er en uløselig forbindelse. Det er kun tilstrækkeligt at huske på, at for en differentierbarhed af en funktion er det nødvendigt, at dette er en kontinuerlig funktion.

Hvis funktionen er differentierbar på et tidspunkt, så er det kontinuerligt. Det er imidlertid ikke nødvendigt, at dets derivat også er kontinuerligt.

En funktion, der har nogle sætkontinuerlig derivat, tilhører en særskilt klasse af glatte funktioner. Det er med andre ord en kontinuerlig differentierbar funktion. Hvis derivatet har et begrænset antal brudpunkter (kun af den første type), kaldes en lignende funktion glat.

Et andet vigtigt koncept for matematisk analyseer den ensartede kontinuitet af funktionen, det vil sige dens evne til at være lige kontinuerlig på ethvert tidspunkt i sit definitionsdomæne. Således betragtes denne ejendom på sæt af punkter, og ikke i nogen taget separat.

Hvis du løser pointet, får du ikke detAndet, som definitionen af ​​kontinuitet, dvs. eksistensen af ​​ensartet kontinuitet indebærer, at vi har en kontinuerlig funktion foran os. Generelt er den omvendte ikke sandt. Men ifølge Cantor's sætning, hvis en funktion er kontinuerlig på en kompakt, det vil sige i et lukket interval, så er det ensartet kontinuerligt på det.